直列・並列システムの稼働率の比較
出典: 令和6年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問14 (IPA)
稼働率が等しい装置 X を直列や並列に組み合わせたとき，システム全体の稼働率を高い順に並べたものはどれか。ここで，装置 X の稼働率は 0 よりも大きく 1 未満である。
- ア A，B，C
- イ A，C，B
- ウ C，A，B
- エ C，B，A
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正解: イ
- ア: B は A に a (1 未満) を掛けたものなので A より小さいですが、C よりも小さくなります。a = 0.9 なら C ≒ 0.964、B = 0.891 です。
- イ: A ＞ C ＞ B の順になります。a = 0.9 のとき A = 0.99、C ≒ 0.964、B = 0.891 です。
- ウ: C は直列にした 2 組を並列にしたもので、2 台の単純な並列 (A) より稼働率は低くなります。
- エ: C より A の方が高く、B が最も低くなります。
ポイント
X の稼働率を a (0 ＜ a ＜ 1) とします。
- A (X 2 台の並列): 1 − (1 − a)²
- B (X と、A を直列): a × {1 − (1 − a)²} … A に 1 未満の a を掛けるので A より小さい
- C (X 2 台の直列を、2 組並列): 1 − (1 − a²)²
A と C を比べると、A − C = (1 − a²)² − (1 − a)² = (1 − a)² {(1 + a)² − 1} ＞ 0 となり A ＞ C。
C − B = a³(1 − a) ＞ 0 なので C ＞ B。
よって A，C，B の順です。例えば a = 0.9 なら A = 0.99、C ≒ 0.964、B = 0.891 です。