経路の稼働率の比較
出典: 平成27年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問15 (IPA)
ノード N1 とノード N2 で通信を行うデータ伝送網がある。図のように N1 と N2 間にノード N を入れて A 案，B 案で伝送網を構成したとき，システム全体の稼働率の比較として適切なものはどれか。ここで，各ノード間の経路（パス）の稼働率は，全て等しく ρ（0＜ρ＜1）であるものとする。また，各ノードは故障しないものとする。
- ア A 案，B 案の稼働率の大小関係は，ρ の値によって変化する。
- イ A 案，B 案の稼働率は等しい。
- ウ A 案の方が，B 案よりも稼働率が高い。
- エ B 案の方が，A 案よりも稼働率が高い。
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正解: エ
- ア: B − A = 2ρ²(1 − ρ)² は 0 ＜ ρ ＜ 1 で常に正なので、ρ によって大小は変わりません。
- イ: 差は 2ρ²(1 − ρ)² で 0 にはならないので、等しくなりません。
- ウ: A 案の方が低くなります。
- エ: B − A = 2ρ²(1 − ρ)² ＞ 0 なので、常に B 案の方が高く、正しい答えです。
ポイント
- A 案: N1→N→N2 の直列 (稼働率 ρ²) が 2 本並列なので、1 − (1 − ρ²)² = 2ρ² − ρ⁴
- B 案: 並列 2 本 (稼働率 1 − (1 − ρ)² = 2ρ − ρ²) を直列につなぐので、(2ρ − ρ²)² = 4ρ² − 4ρ³ ＋ ρ⁴
- 差: B − A = 2ρ² − 4ρ³ ＋ 2ρ⁴ = 2ρ²(1 − ρ)² ＞ 0 (0 ＜ ρ ＜ 1)
よって常に B 案の方が稼働率が高くなります。