論理式の恒真性の判定
出典: 令和7年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問1 (IPA)
論理式 P，Q がいずれも真であるとき，論理式 R の真偽にかかわらず真になる式はどれか。ここで，¬ は否定 (原文では上線) を，“∨”は論理和を，“∧”は論理積を，“→”は含意（“真 → 偽”となるときに限り偽となる演算）を表す。
- ア ((P→Q)∧(Q→P))→(R→¬Q)
- イ ((P→Q)∧¬(Q→¬P))→(Q→R)
- ウ ((P→¬Q)∨(Q→P))→(R→¬Q)
- エ ((P→¬Q)∨(Q→¬P))→(Q→R)
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正解: エ
- ア: 前件 ((P→Q)∧(Q→P)) は真、後件 (R→¬Q) は ¬Q が偽なので R が真のとき偽になります。常には真になりません。
- イ: 前件 ((P→Q)∧¬(Q→¬P)) は 真∧真 = 真、後件 (Q→R) は R の値そのものなので、R が偽のとき偽になります。
- ウ: 前件 ((P→¬Q)∨(Q→P)) は 偽∨真 = 真、後件 (R→¬Q) は R が真のとき偽になります。
- エ: 前件 ((P→¬Q)∨(Q→¬P)) が 偽∨偽 = 偽なので、後件に関係なく全体が真になります。正しい答えです。
ポイント
P = 真、Q = 真 を代入して、R が真でも偽でも常に真になる式を探します。含意 (→) は 「真 → 偽」のときだけ偽 です。
- P→Q は 真→真 で真、Q→P も真です。
- P→¬Q は 真→偽 で偽、Q→¬P も 真→偽 で偽です。
- エは (偽 ∨ 偽) = 偽 が前件になり、前件が偽の含意は R に関係なく真 になります。
- 他の選択肢は前件が真になり、後件が R の値で変わります。