M/M/1 の平均待ち時間と利用率
出典: 令和7年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2 (IPA)
コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは，伝票データをためる待ち行列をもち，M/M/1 の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間が T 秒以上となるのは，システムの利用率が少なくとも何％以上となったときか。ここで，伝票データをためる待ち行列の特徴は次のとおりである。
- 伝票データは，ポアソン分布に従って到着する。
- 伝票データをためる数に制限はない。
- 1 件の伝票データの処理時間は，平均 T 秒の指数分布に従う。
- ア 33
- イ 50
- ウ 67
- エ 80
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正解: イ
- ア: ρ = 0.33 のとき ρ / (1 − ρ) ≒ 0.5 で、平均待ち時間は 0.5T 秒です。まだ T 秒に届きません。
- イ: ρ / (1 − ρ) ≧ 1 を解くと ρ ≧ 0.5 になるので、50％以上で平均待ち時間が T 秒以上になります。
- ウ: ρ = 0.67 のとき ρ / (1 − ρ) ≒ 2 で、平均待ち時間は約 2T 秒です。T 秒を超えるのはもっと手前の 50％からです。
- エ: ρ = 0.8 のとき ρ / (1 − ρ) = 4 で、平均待ち時間は 4T 秒です。「少なくとも何％以上」なので答えは 50％です。
ポイント
- M/M/1 の平均待ち時間は ρ / (1 − ρ) × 平均処理時間 (ρ は利用率)。
- 平均処理時間は T 秒なので、平均待ち時間 ≧ T となる条件は ρ / (1 − ρ) ≧ 1 です。
- ρ ≧ 1 − ρ より ρ ≧ 0.5、つまり利用率 50％以上です。