M/M/1 の統合後の平均待ち時間
出典: 令和6年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問2 (IPA)
ATM（現金自動預払機）が 1 台ずつ設置してある二つの支店を統合し，統合後の支店には ATM を 1 台設置する。統合後の ATM の平均待ち時間を求める式はどれか。ここで，待ち時間は M/M/1 の待ち行列モデルに従い，平均待ち時間にはサービス時間を含まず，ATM を 1 台に統合しても十分に処理できるものとする。
〔条件〕
(1) 統合後の平均サービス時間：Tₛ
(2) 統合前の ATM の利用率：両支店とも ρ
(3) 統合後の利用者数：統合前の両支店の利用者数の合計
- ア ρ/(1−ρ) × Tₛ
- イ ρ/(1−2ρ) × Tₛ
- ウ 2ρ/(1−ρ) × Tₛ
- エ 2ρ/(1−2ρ) × Tₛ
正解と解説を見る
正解: エ
- ア: 統合前の ATM 1 台あたりの式です。利用者数が 2 倍になることが反映されていません。
- イ: 分母だけ 2ρ にしていて、分子の ρ が 2ρ になっていません。利用率が 2ρ なので、式全体で ρ を 2ρ に置き換える必要があります。
- ウ: 分子だけ 2ρ にしていて、分母の ρ が 2ρ になっていません。
- エ: 利用率が 2ρ になるので、ρ/(1−ρ) × Tₛ の ρ を 2ρ に置き換えて 2ρ/(1−2ρ) × Tₛ となります。正しい答えです。
ポイント
- M/M/1 の 平均待ち時間 (サービス時間を含まない) は ρ/(1−ρ) × Tₛ です (ρ は利用率)。
- 統合後は利用者数が 2 倍、サービス時間 Tₛ は同じなので、利用率も 2 倍の 2ρ になります。
- 式に代入すると 2ρ/(1−2ρ) × Tₛ となります。