ATM 統合後の平均待ち時間 (M/M/1)
出典: 令和3年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2 (IPA)
ATM（現金自動預払機）が 1 台ずつ設置してある二つの支店を統合し，統合後の支店には ATM を 1 台設置する。統合後の ATM の平均待ち時間を求める式はどれか。ここで，待ち時間は M/M/1 の待ち行列モデルに従い，平均待ち時間にはサービス時間を含まず，ATM を 1 台に統合しても十分に処理できるものとする。
〔条件〕
(1) 統合後の平均サービス時間： Tₛ
(2) 統合前の ATM の利用率： 両支店とも ρ
(3) 統合後の利用者数： 統合前の両支店の利用者数の合計
- ア ρ／(1−ρ) × Tₛ
- イ ρ／(1−2ρ) × Tₛ
- ウ 2ρ／(1−ρ) × Tₛ
- エ 2ρ／(1−2ρ) × Tₛ
正解と解説を見る
正解: エ
- ア: 統合前の 1 台あたりの待ち時間の式です。利用者が 2 倍になるので、利用率は 2ρ に変わります。
- イ: 分母だけ 2ρ にしていて、分子の利用率が ρ のままです。分子も 2ρ になります。
- ウ: 分子だけ 2ρ にしていて、分母の利用率が ρ のままです。分母も 1 − 2ρ になります。
- エ: 統合後の利用率 2ρ を M/M/1 の式に当てはめた 2ρ ／ (1 − 2ρ) × Tₛ なので正しい答えです。
ポイント
- M/M/1 の平均待ち時間 (サービス時間を含まない) は ρ ／ (1 − ρ) × 平均サービス時間 です。
- 2 つの支店の利用者が 1 台の ATM に集まるので、到着する人数が 2 倍になり、統合後の利用率は 2ρ になります (サービス時間は Tₛ のまま)。
- よって統合後の平均待ち時間は 2ρ ／ (1 − 2ρ) × Tₛ です。