1＋nα による近似の条件
出典: 平成29年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問2 (IPA)
(1＋α)ⁿ の計算を，1＋n×α で近似計算ができる条件として，適切なものはどれか。
- ア ｜α｜が 1 に比べて非常に小さい。
- イ ｜α｜が n に比べて非常に大きい。
- ウ ｜α÷n｜が 1 よりも大きい。
- エ ｜n×α｜が 1 よりも大きい。
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正解: ア
- ア: α が十分小さければ α² 以降の項を無視できるので正しい答えです。
- イ: α が大きいと α² 以降の項が大きくなり、近似できません。
- ウ: ｜α÷n｜が大きいということは α が大きいので、近似できません。
- エ: ｜n×α｜が大きいと、n(n−1)/2 × α² などの項も無視できない大きさになります。
ポイント
- 二項定理で展開すると (1＋α)ⁿ ＝ 1 ＋ nα ＋ n(n−1)/2 × α² ＋ … です。
- ｜α｜が 1 に比べて非常に小さい と、α²、α³ … の項はほとんど 0 になり、1 ＋ nα で近似できます。
- 例: (1.001)³ ＝ 1.003003… ≒ 1 ＋ 3 × 0.001 ＝ 1.003